Variabili aleatorie

Variabili aleatorie scalari

Una variabile aleatoria è una funzione che associa un valore a ogni possibile evento di uno spazio campione. Nel caso variabili aleatorie scalari ci riferiamo a funzioni di una variabile.
Per esempio quando a ogni possibile esito del lancio di un dado associamo il numero di pallini a una faccia stiamo definendo una variabile aleatoria che associa un numero naturale da 1 a 6 ai possibili esiti di un esperimento. Parlando di un dado la variabile aleatoria in questione è discreta.
Associare un valore numerico a ogni evento rende possibile la trattazione matematica degli esiti di un evento aleatorio.

Funzione di distribuzione 

La funzione di distribuzione di probabilità è una funzione che associa a y (valore assunto da una variabile aleatoria) la probabilità che l'esito di un processo aleatorio Y sia minore o uguale a y F(y)=P(Y≤ y). E' un numero compreso tra 0 e 1  in quanto la funzione di distribuzione rappresenta la probabilità dell'unione di tutti gli eventi per cui Y<y, se y tende a infinito tendiamo dunque all'unione di tutte le probabilità dello spazio campione ovvero all'evento certo che a probabilità 1. A questo punto è facile immaginare come la derivata della funzione di distribuzione in un punto x debba rappresentare la probabilità che la variabile aleatoria assuma valore x.

Funzione densità di probabilità

La derivata della funzione di distribuzione è chiamata funzione densità di probabilità, qualora sia nota ci basterà integrarla in un intervallo per conoscere la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore in quell'intervallo. viene indicata come fx(x) e essendo che rappresenta delle probabilità assume valori da 0 a 1 e rispetta gli assiomi di Kolmogorov adeguati a uno spazio campione di numeri reali.

Indici di posizione

Media:

è la somma dei valori assunti dalla variabile aleatoria moltiplicati per le loro probabilità di accadere

Mediana:

è il valore y per cui si ha F(y)=0,5

Moda: 

è il  valore più probabile, ovvero quello per cui la funzione densità di probabilità assume valore massimo.

Indici di dispersione

Varianza:

è la media dei quadrati delle distanze tra i valori assunti e la media dei valori assunti dalla variabile.

Deviazione standard:

è la radice quadrata della varianza