Teoria della probabilità

Popolazione

Una popolazione è un insieme di unità statistiche, ovvero di manifestazioni del fenomeno studiato.
Una popolazione può essere discreta o continua, nel primo caso esistono un numero finito o infinitamente numerabile di possibili manifestazioni del fenomeno potremo quindi rappresentare gli esiti del fenomeno con dei numeri naturali o in modo nominale. 
Un esempio di popolazione discreta è la popolazione costituita dagli esiti del lancio di un dado, avremo solo 6 possibili esiti di cui uno per ogni faccia del dado e potremo associare a ogni evento un numero naturale che va da 1 a 6. 
Nel caso di una popolazione continua esistono infinite manifestazioni del fenomeno studiato come nel caso di una misura sperimentale in cui la grandezza misurata viene rappresentata da un numero reale, sia che questo numero sia racchiuso in un intervallo sia che non lo sia avremo infiniti possibili esiti dell'esperimento.

Campione

Una popolazione talvolta non può essere considerata interamente, e si ricorre all'utilizzo di un campione tramite le cui proprietà si vanno a descrivere le proprietà della popolazione da cui è stato estratto. Per esempio in un esperimento dove lanciamo un dado, non potendolo lanciare infinite volte ci limiteremo a lanciarlo un numero di volte sufficiente alto da poter approssimare i risultati che otterremo per infiniti lanci. 

Processo aleatorio 

Talvolta dal nostro campione emerge che non possiamo prevedere con certezza l'esito di un esperimento in quanto questo è un processo aleatorio (aleatorio, stocastico e casuale sono sinonimi) però possiamo comunque avvalerci della statistica per determinare delle componenti comuni a tutti gli esiti. Definire un processo stocastico equivale a definire un sistema dinamico in cui le funzioni che descrivono lo stato sono variabili aleatorie, quindi in pratica è una variabile aleatoria a più dimensioni e non definita semplicemente su R, per capire questo bisogna prima capire cosa è una variabile aleatoria ma per ora basti sapere che un processo aleatorio è un processo nel quale non si può prevedere l'esito ma lo si può caratterizzare mediante determinate proprietà statistiche. 

Spazio campione 

Lo spazio campione è l'insieme di tutti gli eventi distinti estraibili da una popolazione relativa a un fenomeno. Per capire meglio potete pensare a quando ho detto che da una popolazione che descrive il lancio di un dado possiamo estrarre un campione di 50 lanci che è un sotto insieme della popolazione, questi 50 lanci avranno esito che potrà essere 1, 2, 3, 4, 5 o 6 i possibili esiti del lancio di un dado sono quindi sei e costituiranno lo spazio campione per l'esperimento {1,2,3,4,5,6}. Ogni elemento dello spazio campione è detto evento elementare, l'evento complementare a un evento E è la differenza insiemistica tra lo spazio campione e l'evento E. Lo spazio campione è detto evento certo in quanto contiene tutti i possibili eventi elementare compreso l'insieme vuoto che rappresenta l'evento nullo o evento impossibile. 

Spazio degli eventi 

Lo spazio degli eventi potete vederlo come l'insieme delle parti dello spazio campione, più precisamente è una σ-algebra ovvero i suoi elementi sono chiusi rispetto l'unione e l'intersezione.

Probabilità frequentista

L'approccio frequentista si basa sulla frequenza relativa con cui si verifica un evento E in N esperimenti. Facendo tendere N all'infinito si ottiene la probabilità che quell'evento accada P(E).

Spazio delle probabilità

E' uno spazio misurabile la cui misura ha valori compresi tra 0 e 1 e viene detta appunto probabilità

Assiomi di Kolmogorov

Assiomi

I) Positività:
La Probabilità di un evento A è un numero unico maggiore o uguale di 0:
P(A)≥0. In accordo col fatto che la misura nello spazio della probabilità ha valori [ 0 , 1 ]

II) Certezza:
La Probabilità dell'evento certo e quindi dello Spazio Campionario Ω è sempre 1:
P(I)=P(Ω)=1. (dove con "I" si indica un evento certo)

III) Unione:
Siano A e B due eventi incompatibili, allora la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità di A e B:    
P(A∪B) = P(A) + P(B)

Proprietà

I) Probabilità dell'evento impossibile
La probabilità dell'evento impossibile è pari a 0.

II) Probabilità dell'evento negazione
Dato un evento A, la probabilità dell'evento negazione di A è pari al complemento a 1 della probabilità di A.

III) Probabilità totali
Dati due eventi A e B, la probabilità dell'unione di A e B è pari alla somma delle singole probabilità dei due eventi meno la probabilità dell'intersezione.
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
Questo deriva dal fatto che richiedendo la probabilità di A o B andiamo ad escludere la probabilità che avvengano assieme. (L'unione, in questo senso, è un po come lo XOR che vi ho presentato nella trattazione sule reti logiche).

IV) Probabilità per insiemi inclusi

Se A è incluso in B è meno probabile rispetto a B
P(A) ≤  P(B).

V) Disuguaglianza di Boole

La somma della probabilità di due eventi è minore o uguale della probabilità della loro unione
P(A)+P(B) ≤  P(A U B). Questo è facilmente dimostrabile per via della proprietà delle probabilità totali.

Probabilità condizionata

E' la probabilità che un dato evento B si verifichi dato che si è verificato un evento A e si indica con P(B|A)
P(B|A)=P(B ∩ A)/P(A).

Eventi indipendenti

Due eventi si dicono indipendenti nel caso in cui il verificarsi di uno non influenzi in alcun modo il verificarsi dell'altro.
In tal caso abbiamo che P(B ∩ A)=P(B)P(A) e dunque 
P(B|A)=P(B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)